Fractal
Ок, ты меня разозлил
Случай неидеальных Ахилла с черепахой мы, считаю, разобрали.
Рассмотрим идеальных.
Пусть f(t):R->R - траектория движения (зависимость положения от времени) Ахилла, g(t):R->R - траектория движения черепахи. Сразу заметим, что обе функции монотонно возрастают - черепаха и Ахилл направление своего движения не меняют. Подходя с точки зрения Зенона, рассматривается монотонно возрастающая последовательность t0, t1, t2, t3,..., причем f(ti)=g(t(i+1)) для любого i. А теперь главное: f'(ti)>g'(t(i+1)).
Рассмотрим последовательность h(ti)=g(ti)-f(ti)=g(ti)-g(t(i-1)). Возможны два варианта:
1. f'(ti)<g'(ti)+C для любой константы C: обе функции стремятся в бесконечность, постоянно возрастая, пересечения нет.
2. f'(ti)>=g'(ti)+C, где C - некоторая константа: из h(ti)->0 найдется такая точка t, что h(t)=0. Доказательство очевидно, но тем не менее приведу его:
h(t0)>0 по условию задачи. h'(ti)=g'(ti)-f'(ti)<0, то есть h(t) функция убывающая. Возьмем s=h(t0)/2C. h(s)<0, так как h'(t) никогда не меньше C. Тогда из непрерывности h(t) как разности двух непрерывных функций найдется точка, в которой h(t)=0.
Вот и все.