Алгебра

**fktrctq** · 02.06.2007, 18:19

График получился таким (если ничего не напутал). Проверь по точкам, на всякий случай.

**~~Шедевра~~** · 02.06.2007, 19:43

Умножим числитель и знаменатель на sinx+cosx. Данная операция возможна, поскольку множитель не равен нулю (он стоит в знаменателе). Наверху раскрываем по формуле разности квадратов, внизу - по квадрату суммы. Получаем

((sinx)^2-(cosx)^2)/(1+2sinxcosx)=-cos2x/(1+sin2x)

((sinx)^2-(cosx)^2)/(1+2sinxcosx)=-cos2x/(1+sin2x)

Теперь сам интеграл:

$\int(-cos2x/(1+sin2x))dx=(-1/2)\int(1/(1+sin2x))d(sin2x)=(-1/2)\int(1/(1+y))dy=(-1/2)ln|1+y|+C=(-1/2)ln|1+sin2x|+C$

Можно внести множитель -1/2 как степень под логарифм и убрать модуль, поскольку выражение 1+sin2x>=0

всегда в силу свойств функции sin.

да, это тот самый, только не преобразованный

А как он выглядел преобразованным? По темкам пробежалась - не нашла.

**Trotil** · 03.06.2007, 09:33

1) разложить на многочлены 1-ой и второй степени (с помощью Формулы Муавра)
2) Разложить дробь на сумму дробей 1-ой и 2-ой степени (найти сооотв. коэффициэты)
3) каждая дробь будет представлять элементарный интерграл, для которой сразу пишем ответ.

tg^5(3x)xdx

Боюсь, это чудо не выражается конечным числом элементарных функций.
Первое, что приходит в голову, это разложить в бесконечный ряд, и потом интергировать.

Вечером попробую написать решение

**Если** · 03.06.2007, 19:31

Шедевра, мне стыдно.
В знаменателе там было "sinx + 2cosx". Я не проверила должным образом, когда выкладывала сюда. Впрочем, попробую умножить на сопряженное. Мне это как-то в голову не приходило

.
А преобразованным он выглядел, когда я вынесла единицу в отдельный интеграл. Остается cosx/(sinx+2cosx)

, который, собственно, и требуется решить.
fktrctq, спасибо

. У меня по точкам такая же красота получается.
Trotil, значит, 1 - методом неопределенных коэффициентов? Ясно.
Что касается 2 - лишний х явно наталкивает на мысль о применении формулы сложных интегралов, но получается такая бяка... Ладно, сдам преподу. Не факт, что этот пример вообще решабелен теми способами, которые мы знаем.

**Trotil** · 03.06.2007, 19:51

Решаем второй пример. Заметим, что корнями 1+x^8=0 являются
$x_0=1/2*\sqrt{2+\sqrt{2}}+1/2*I*\sqrt{2-\sqrt{2}}$
$x_1=1/2*\sqrt{2-\sqrt{2}}+1/2*I*\sqrt{2+\sqrt{2}},$
$x_2=-1/2*\sqrt{2-\sqrt{2}}+1/2*I*\sqrt{2+\sqrt{2}}$
$x_3=-1/2*\sqrt{2+\sqrt{2}}+1/2*I*\sqrt{2-\sqrt{2}}$
$x_4=-1/2*\sqrt{2+\sqrt{2}}-1/2*I*\sqrt{2-\sqrt{2}}$
$x_5=-1/2*\sqrt{2-\sqrt{2}}-1/2*I*\sqrt{2+\sqrt{2}}$
$x_6=1/2*\sqrt{2-\sqrt{2}}-1/2*I*\sqrt{2+\sqrt{2}}$
$x_7=1/2*\sqrt{2+\sqrt{2}}-1/2*I*\sqrt{2-\sqrt{2}}$

Находится это через формулу Муавра:
$\sqrt[n]{r(\cos(@f)+I*sin(@f)}$ = $\sqrt[n]{r}(\cos((@f+2@pk)/n)+I*sin((@f+2@pk)/n))$ , k=0..(n-1);

k=0: $\sqrt[n]{1}(\cos(@p/8)+I*sin(@p/8))$ = $\cos(@p/8)+I*sin(@p/8)$ =

$\sin^2(@a)=(1-cos(2@a))/2$ => $\sin(@p/8)=\sqrt((1-cos(@p/4))/2)=\sqrt((1-1/\sqrt{2})/2)=\sqrt((\sqrt{2}-2)/2\sqrt{2})=1/2*\sqrt{2-\sqrt{2}}$
$\cos^2(@a)=(1+cos(2@a))/2$ => $\cos(@p/8)=\sqrt((1+cos(@p/4))/2)=\sqrt((1+1/\sqrt{2})/2)=\sqrt((\sqrt{2}+2)/2\sqrt{2})=1/2*\sqrt{2+\sqrt{2}}$

...

k=7: $\cos((@p+2@p*7)/8)+I*sin((@p+2@p*7)/8)$ = $\cos(-@p/8)+I*sin(-@p/8)$ = $1/2*\sqrt{2+\sqrt{2}}-1/2*I*\sqrt{2-\sqrt{2}}$

(кстати, maple решает это уравнение с ошибкой!

)

Причем, можно упростить:
$x_0*x_7=x^2-x*\sqrt{2+\sqrt{2}}+1$
$x_1*x_6=x^2-x*\sqrt{2-\sqrt{2}}+1$
$x_2*x_5=x^2+x*\sqrt{2-\sqrt{2}}+1$
$x_3*x_4=x^2+x*\sqrt{2+\sqrt{2}}+1$

Теперь нужно разложить ЭТО в сумму четырех дробей и подобрать коэффициенты.
$1/(1+x^8)=(A_1x+B_1)/(x^2-x*\sqrt{2+\sqrt{2}}+1)+(A_2x+B_2)/(x^2-x*\sqrt{2-\sqrt{2}}+1)+(A_3x+B_3)/(x^2+x*\sqrt{2-\sqrt{2}}+1)+(A_4x+B_4)/(x^2+x*\sqrt{2+\sqrt{2}}+1)$

Прошу не пугаться, но maple при подведении под общий знаменатель выдал:
Читать дальше...

Что прнводит к такой системе:
0=A4+A2+A3+A1

$0=B4+A1*\sqrt(2+\sqrt(2))-A4*\sqrt(2+\sqrt(2))+B3$ - $A3*\sqrt(2-\sqrt(2))+A2*\sqrt(2-\sqrt(2))+B2+B1$
$0=-A3*\sqrt(2)-B4*\sqrt(2+\sqrt(2))+A2-B3*\sqrt(2-\sqrt(2))$ + $A4+A3-A2*\sqrt(2)+B1*\sqrt(2+\sqrt(2))+A1+A4*\sqrt(2)$ + $B2*\sqrt(2-\sqrt(2))+A1*\sqrt(2)$
$0=B4-A2*\sqrt(2-\sqrt(2))*\sqrt(2)-B3*\sqrt(2)-A4*\sqrt(2+\sqrt(2))*\sqrt(2)$ + $B4*\sqrt(2)-B2*\sqrt(2)+B2+A1*\sqrt(2+\sqrt(2))*\sqrt(2)$ + $A3*\sqrt(2-\sqrt(2))*\sqrt(2)+B1+B1*\sqrt(2)+B3$
$0=-B2*\sqrt(2-\sqrt(2))*\sqrt(2)-A2*\sqrt(2)+B1*\sqrt(2+\sqrt(2))*\sqrt(2)$ + $A4+A1+A1*\sqrt(2)-A3*\sqrt(2)-B4*\sqrt(2+\sqrt(2))*\sqrt(2)+A3+A4*\sqrt(2)$ + $B3*\sqrt(2-\sqrt(2))*\sqrt(2)+A2$
$0=A2*\sqrt(2-\sqrt(2))+B4*\sqrt(2)-B3*\sqrt(2)+B1+B4-A4*\sqrt(2+\sqrt(2))$ - $B2*\sqrt(2)+B1*\sqrt(2)+B2-A3*\sqrt(2-\sqrt(2))+A1*\sqrt(2+\sqrt(2))+B3$
$0=-B3*\sqrt(2-\sqrt(2))+B2*\sqrt(2-\sqrt(2))+A1+A4+A2-B4*\sqrt(2+\sqrt(2))+A3+B1*\sqrt(2+\sqrt(2))$
1=B3+B1+B2+B4

Что-то я не уверен, что у меня хватит сил это до конца дорешать

Осталось-то... Решить обынковенную систему линейных уравнений (СЛАУ) и решитть 4 стандартных интеграла )))

**Если** · 04.06.2007, 08:58

Все, я сдала работу и получила зачет. У препода появился вопрос только по синусу/косинусу (см. выше), в результате чего он написал мне основные стадии решения и сказал, что будет отдельный вопрос на экзамене.
Вероятно, нерешенные эти у него вопросов не вызвали.
Спасибо огромное всем, кто поучаствовал в процессе решения: Шедевре, fktrctq и особенно Тротилу

.

**~~Шедевра~~** · 04.06.2007, 09:17

Если, только сейчас заметила твой пост по двойку в знаменателе. Жаль, что не пригодилось

Но в любом случае, результат есть - зачет сдан! А напиши, плиз, каковы эти основные стадии решения.

**Если** · 04.06.2007, 10:20

Шедевра, числитель и знаменатель делятся на cosx, получается (tgx-1)/(tgx+2)

.
Дальше производится замена tgx=z, находится, чему теперь равна dx. В итоге, уже с dz, получается дробь (z-1)/((z+2)(z^2+1))

(я этого не проверяла, просто переписываю), ну а там - раскладывается на две дроби методом неопределенных коэффициентов

.

Agaya · 05.09.2007, 20:21

Здравствуйте,Trotil.
Скажите, пожалуйста, как доказать такое тождество.
Sin8a(альфа)+Cos8a= 1/32(Cos^4a+14Cos4a+17).
Я вроде бы понимаю, что Sin8a можно представить как (Sin^a)4
(в 4 степени) и Cos таким же образом. А дальше, что-то никак не идёт. Напишите, пожалуйста, как вообще это надо делать.
Заранее, спасибо.

Здравствуйте,Trotil.
Скажите, пожалуйста, как доказать такое тождество.
Sin8a(альфа)+Cos8a= 1/32(Cos^4a+14Cos4a+17).
Я вроде бы понимаю, что Sin8a можно представить как (Sin^a)4
(в 4 степени) и Cos таким же образом. А дальше, что-то никак не идёт. Напишите, пожалуйста, как вообще это надо делать.
Заранее, спасибо.

**Trotil** · 05.09.2007, 20:53

Agaya
Привет! Наверное, никак нельзя доказать.

Можно доказать, что это не тождество:

берем a=Pi/2.
4a=2Pi
8a=4Pi

Sin(4Pi)+Cos(4Pi)= 1/32(Cos^4(Pi/2)+14Cos(2Pi)+17).
0+1=1/32(0+14+17)
Не сходится что-то...

Agaya · 05.09.2007, 21:45

Вы меня очень огорчили.
А почему a=Pi/2(вы -a- просто сами так представили или есть какая- то формула?)
Скажите, а разве нельзя сначала представить левую часть так как я вам написала, а в правой части 14 Cos4a разложить по формуле двойного угла косинуса.
А затем каким- нибудь мистическим образом через ф-лы понижения степени перейти к ф-м двойного угла.
Рассмотрите,пожалуйста, мою идею решения, правда, несмотря на свои предположения, решить что- то у меня не получается.

я думаю, что вы допустили ошибку. Сейчас объясню в чём.
Т.к. Cos^4(П/2)= Cos^2П,
а Cos^2П можно раскрыть по ф-ле пониж степ , т.е. Cos^a= 1+ Cos2a/2,
а Cos2a=1, т.е. 1+1/2=1
0+1=1/32(1+14+17)
1=1
Верно? Я буду очень рада, если да, только объясните почему a=Pi/2.
Спасибо.

Agaya · 05.09.2007, 22:24

извините, я неправильно написала (1+1)/2=1, т.к. C0s^a= (1+Cos2a)/2
И ещё
Sin в 8 степени альфа + Cos в 8 степени альфа=1/32(Cos^4a+14Cos4a+17).
Теперь я правильно записала левую чась.
Стыдно уже мне, измучала я вас.

**Trotil** · 05.09.2007, 22:39

Agaya
Дык все равно равенства не получится...

Правая часть верно записана? (еще раз предлагаю посмотреть скриншот)

Agaya · 05.09.2007, 23:03

в правой ч. должно быть = 1/32(Cos^4 альфа+ 14 Cos4 альфа+ 17)
В скриншоте 1/32(Cos(x) в 4 степени, неверно.
Вот как я сейчас записала, так написано в учебнике.

**Trotil** · 05.09.2007, 23:36

Agaya
Не понимаю, как надо записать... Не понимаю. Может лучше скобки поставите, куда нужно?

cos 4 альфа -> cos (4a)
cos альфа в 4-той степени -> cos^4(a) (не путать с cos(a^4)!!!)
cos 4 альфа в 4-той степени -> cos^4(4a)

1/32(Cos^4 альфа+ 14 Cos4 альфа+ 17)

Ну вот так у меня и записано на скриншоте...

В скриншоте 1/32(Cos(x) в 4 степени, неверно.

А что тогда означает Cos^4 альфа?

Тема: Алгебра

Опции темы

Помогите, пожалуйста!

Trotil

Trotil

Trotil,

Метки этой темы

Ваши права