Решение такое:
Введем функцию: f(x)=(x+1)^(1/2) - x^(1/3)
Нам нужно оценить ее значение при x=10, а именно
f(10) = 11^(1/2) - 10^(1/3).
Заметим, что f(8)=9^(1/2) - 8^(1/3) = 3 - 2 = 1
Основная идея: при x>8 функция неограниченно возрастает, т.е. ее производная больше нуля. Если вы докажем, что это так, то для любого e>0 f(8+e)>1 => f(10)>1. Поведение функции при x<=8 нас не будет интересовать.
Находим производную f(x):
f`(x) = (1/2)*(1/(x+1)^(1/2)) - (1/3) *(1/(x)^(2/3));
Осталось доказать, что f`(x)>0 при x>8
f`(8) = (1/2)*((8+1)^(-1/2)) - (1/3) *(8^(-2/3)) = 1/6 - 1/12 = 1/12.
Теперь сообственно о пределах. при x->Infinity (бесконечность) x^(-1/2) стремится к нулю медленнее, чем x^(-2/3) (как раз это доказывается с помощью пределов), но, по-хорошему, для 11-класницы это тоже должно вполне очевидным.
Исходя из свойств функции (x)^(а), где 0>а>1 и факта, указанного выше x^(-2/3) оказывать влияния практически не будет и поведение f`(x) будет определяться x^(-1/2). А поскольку x^(-1/2)>0 для любого положительного x, то f`(x)>0 (при x>8).
Задача решена.